Сочетание Битва народов (о сражении под Лейпцигом в 1813 году) пишется без кавычек.
Единственно возможного варианта нет. В разных названиях сражений употребляются разные предлоги, ср.: битва при Ватерлоо, битва под Москвой, битва на Калке.
Употребительнее: битва с, хотя сочетание битва против изредка встречается в художественных и публицистических текстах, ср.: Это была знаменитая в летописях битва против нигилистов, свистунов, космополитов и проч. (М. Е. Салтыков-Щедрин, Итоги, 1871). Сорок лет назад победоносно завершилась небывалая по своим масштабам и ожесточенности битва против гитлеровского фашизма («Наука и религия», 1985).
Кавычки уместны.
Верен первый вариант.
Кавычки не нужны, второй вариант написания возможен.
Если это сказки разных народностей, которые живут на территории Казахстана, то верно: сказки народов Казахстана.
Прописная буква сохраняется: Алисы всех времен и народов.
Правильно: ул. Дружбы Народов.
