Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.

При родовом понятии пирожное или печенье слово брауни рекомендуем использовать как существительное среднего рода.

Лучше: ремонтирую компьютеры.

Женские фамилии, оканчивающиеся на согласный, не склоняются. Правильно: Любови Герань.

Верно: Береги платье снову, а честь смолоду.

Вы совершенно правы: это обращение, которое на письме нужно обособить.

Мужская фамилия Борун склоняется (Боруна, Боруну и т. д.), женская – нет.

Слово Берлин лучше написать в скобках: Анна Фогель (Берлин) разработала методику...

Метать перуны – сердиться, сильно ругать кого-л. Родиться в рубашке – о том, кому всегда сопутствует удача, счастье. Заварить кашу – затеять какое-л. неприятное хлопотливое дело. Взять быка за рога – начинать действовать энергично, решительно. Кот наплакал  – очень мало (о крайне недостаточном количестве кого-л., чего-л.).

См. также наш Справочник по фразеологии.