Правильно: ПастернАка.
Оба варианта верны.
Запятая не нужна.
В «Словаре русских народных говоров» зафиксированы несколько вариантов этого слова: ка́рбаз, карба́з, ка́рбас и карба́с. В «Словаре живого поморского языка в его бытовом и этнографическом применении», составленном И. М. Дуровым в 20-30-е годы ХХ века (опубликован в Петрозаводске в 2011 году), находим только ка́рбас. Интересную помету оставил Иван Матвеевич Дуров, урожденный помор: «перестановка звуков в слогах — барка́с».
Эти слова не однокоренные, хотя и родственные.
Ошибок нет, запятые ставить не нужно.
Нормативны оба варианта, а вот относительно предпочтительности одного из них в словарях согласия нет. Большинство словарей по-прежнему полагают более предпочтительным вариант берёста, а другие считают наоборот