Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.
Верно: рассмотрели Витино изобретение; установили Серегин датчик.
Правило читайте в ответе 255710.
Верно: Береги платье снову, а честь смолоду.
Запятая не ставится. Союз и соединяет однородные члены предложения.
Верно слитное написание наречий: снову, смолоду.