Корректно написание строчными буквами.
Оба варианта возможны.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).
Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.
Названия без родового слова склоняются: работаю на "Красноармейце" проинформировал "Горожанина", "Сельского курьера". Но: работаю на заводе "Красноармеец", проинформировал газеты "Горожанин" и "Сельский курьер".
Москвич в значении 'автомобиль' – неодушевленное существительное: сел в москвич.
Да, все верно.
Белинский прав (в орфографическом отношении).