Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.

Мы благодарим (кого?): благодарим семью Матвеевых, благодарим Екатерину Валерьевну, но выражаем благодарность (кому?): благодарность семье Матвеевых, благодарность Екатерине Валерьевне. 

Об имени Екатерина, как и других, можно прочитать на нашем портале в «Словаре русских личных имен» Н. А. Петровского. 

Да, эту фамилию следует склонять.

Форма творительного падежа от названия города Балашова: Балашовом. В русском языке существует правило, согласно которому топонимы на -ов, -ев-, -ин, -ын, -ово, -ево, -ино, -ыно в творительном падеже имеют окончание -ом  — в отличие от имеющих те же финали фамилий славянского происхождения, которые в творительном падеже получают окончание -ым: под городом Балашовом — с Иваном Балашовым.  

Да, склоняется.

Словари фиксируют оба варианта, но предпочтительным следует считать Йоханнесбург.