Правильно: борсетка. Только такой вариант зафиксирован в академическом орфографическом словаре, а он главный при решении орфографических вопросов (другие словари могут отражать колебания в написании, которые испытывает слово, осваиваясь в языке).
Правилен первый вариант.
Слова борсетка, борсеточник, осваиваясь в языке, испытывали колебания в написании, словарями фиксировались варианты с о и с а. Но всё-таки «Русским орфографическим словарем» РАН установлено написание через о (в соответствии с этимологией этих слов). В электронной версии словаря на нашем портале теперь тоже только борсетка, борсеточник (вариант с а убран).
Это не однокоренные, но этимологически родственные слова.
См. ответ на вопрос № 279720.
Багульник горит, березка стоит голая. Во втором случае имеем составное именное сказуемое с так называемой знаменательной связкой.
Эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).