Это имя собственное склоняется, форма винительного падежа: Жан-Клода Ван Дамма (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко).
См. ответ на вопрос № 237360.
Все варианты правильные. В современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая). Но в разговорной речи часто употребляется флексия -у, особенно в глагольных конструкциях со значением неполного объекта (хочу чаю, добавить сахару и т. п.). Винительный падеж (хочу чай) также возможен, т. к. речь идет о конкретном объекте.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Правильно: ван Эйк.
Правильно с прописной, кроме последнего примера.
И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.
СО РАН (отделение) обязано.
Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.
