Правильно склонять (как в первом варианте). Подробнее см. в «Письмовнике».
Форма творительного падежа от названия города Балашова: Балашовом. В русском языке существует правило, согласно которому топонимы на -ов, -ев-, -ин, -ын, -ово, -ево, -ино, -ыно в творительном падеже имеют окончание -ом — в отличие от имеющих те же финали фамилий славянского происхождения, которые в творительном падеже получают окончание -ым: под городом Балашовом — с Иваном Балашовым.
Написание фамилий может не подчиняться правилам правописания, поэтому возможны варианты: Балашев и Балашов. Как написать в Вашем случае – вопрос непростой, ведь данные архивов расходятся с современной практикой письма. Мы бы ориентировались на архивные документы, если есть такая возможность.
Правильно без запятой.
Мужская фамилия Атанесян склоняется, женская – нет. Правильно: тетрадь Атанесяна Николая (но: тетрадь Атанесян Марии).
Верно: монастырь Святого Николая.
Из Вашего вопроса не вполне ясно, как звучит фамилия в именительном падеже. Если в именительном падеже – Николай Барб, то в родительном должно быть: Николая Барба, в дательном – Николаю Барбу. Если же в именительном падеже – Николай Барба, то в родительном должно быть: Николая Барбы, в дательном – Николаю Барбе. В любом случае фамилия должна склоняться: по законам русской грамматики склоняются мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный; склоняются мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а, -я безударный.
Запятую принято ставить.
