Правильная форма родительного падежа: Багам.
Корректно: предназначен для накопления багажа. Вариант для накапливания багажа также возможен, но он менее употребителен.
Правы обе спорящие стороны. Слово багаж имеет собирательное значение. Это значит, что грамматическая форма единственного числа обозначает совокупность предметов. По этой причине форма мн. ч. хотя и может быть образована, но остается невостребованной.
Правильно: ящикам, (каким?) отправляемым... Ср.: ящиков, (каких?) отправляемых.
Тире нужно: Не жили богато — нечего начинать.
Правильно: к выдаче багажа.
Слово эрудиция шире по значению, чем близкие по тематике слова познания и кругозор. Типичные сочетания с глаголом, такие как обладать эрудицией, показывать эрудицию, продемонстрировать эрудицию, блеснуть эрудицией, поразить эрудицией, свидетельствуют о том, что речь идет не только о впечатляющем багаже знаний, но и о навыках интеллектуальной работы с информацией, способности своевременно и в полном виде воспроизводить ее, сопоставлять сведения и выстраивать обоснованные умозаключения. Обратимся к цитате, в которой отражена суть понятия «эрудиция». Об одном из возможных претендентов на вакантное место доцента химии в Петербургском университете сказано следующее: «...его труд, показывающий богатую эрудицию, дает возможность видеть в авторе полное знакомство с литературой, счастливую способность ясно группировать факты и, что всего важнее, уменье и настойчивость в самостоятельной работе». Строки написаны в 1866 году и принадлежат профессору Д. И. Менделееву. Итак, подведем итоги нашего обсуждения. Очевидно, что можно обогатить багаж знаний, но в случае, если речь идет и о развитии навыков работы с таким багажом, глагол обогатить оказывается не вполне точным.
Двоеточие ставится в тех предложениях, где багаж является обобщающим словом. В первом предложении в багаж — обстоятельство места, а диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку — однородные дополнения (сдавала что).
Запятые не нужны.