Правильно: в Бабьем Яре.
Нет, кавычки не нужны.
Верно: в Бабьем Яре.
Это синонимы. Корректны оба варианта.
Мужская фамилия склоняется, женская – нет.
Правильно: Бабель, если имеется в виду писатель, автор «Одесских рассказов» и «Конармии». Фамилия голландского футболиста, игрока «Ливерпуля», обычно произносится с твердым Л, в русской «Википедии» зафиксировано: Бабел.
Оба варианта верны.
В Бабьем Яре — рекомендация «Словаря собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко. На практике употребляются оба варианта, в том числе в художественной литературе и публицистике (но в романе Анатолия Кузнецова используется вариант в Бабьем Яре).
Следует ориентироваться на рекомендацию орфографического словаря: Баба-яга.