Правильно: аудиовидеозапись; аудио- и видеозапись.
Верно: аудио- и видеоаппаратура.
Первые части сложных слов аудио... и видео... пишутся слитно.
Правильно: аудио-, видеопродукция.
Корректно: автор видео- и аудиокурсов.
Оба варианта возможны. Если подчеркивается разнотипность записи, логично выбрать форму множественного числа. Предсказуемое грамматическое решение — форма единственного числа (по форме существительного).
Сочетание грамматически некорректно, так как слова обучение и совершенствование требуют разных падежей от зависимого существительного: обучение (чему?) технике и совершенствование (чего?) техники. Возможно такое сочетание: обучение технике чего-то (например, плавания) и ее совершенствование.
Вот возможные варианты: теле-, видео- и аудиотехника; теле-, видео-, аудиотехника, телевидеоаудиотехника.
