Правильно: Арнольд Шварценеггер.
Запятая перед и ставится, так как слово инженер выступает в роли приложения и выделяется с двух сторон запятыми.
Правильно: ареола соска (ареола – существительное женского рода).
Оба варианта верны.
Употребление кавычек – вопрос не грамматики, а правописания. Слово мышь кавычить не следует (у этого слова в словарях уже отмечено значение 'устройство, позволяющее вводить команды в компьютер помимо клавиатуры'; необычным оно не является), а вот мать надо заключить в кавычки.
Правильно: мойка автомобилей.
Наращение используется в записи порядковых числительных: с 5-м элементом. Но: с 5 элементами. Подробно см. в Письмовнике.
Правильно: Родина-мать зовет. Родина-мать – подлежащее, зовет – сказуемое.