См. «Горячие вопросы».
Верно: инспекция (где?) в акционерном обществе; проведение инспекции в АО, в ПАО.
Правильно: пособие по... (по безработице, по русскому языку...).
Предлог по в значении 'после' требует предложного падежа: по выходе на работу. Сочетания такого типа обычно употребляются в канцелярской речи, в документах.
Сочетание при выходе означает 'во время выхода', ср.: при выходе из поезда не забывайте свои вещи.
Вы расставили правильно: По левому берегу тянулся лес, по правому – заросли лозы.
Можно написать А. П. или А-Пэ.
Верно: далее - филиал.
Правильно с кавычками.