Правильно: по грЯзи.
Название Фрязино склоняется. Подробный ответ см. здесь.
Правильно: все в грязи, «жигули» остановились.
Эффективными (т. е. приводящими к положительному результату) могут быть какие-либо действия, средства (например, лекарства), но вряд ли девизы.
Проясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду.
Если девиз приводится дословно, то это цитата: Наш девиз: «Стиль, доступный каждому».