Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Корректно: ОСП. Инициальные аббревиатуры (то есть аббревиатуры, образованные из начальных букв каждого слова, входящего в полное название) пишутся прописными буквами. Исключения: вуз, втуз, дот, дзот. Аббревиатуры нэп и загс имеют варианты написания НЭП и ЗАГС.
Представляется, что здесь уместны кавычки: страны «оси» (раз города не указываются, роль конкретизатора возьмут на себя кавычки, они помогут обратить внимание читателя на это слово, подскажут читателю, что здесь имеется в виду какая-то особая «ось»).
Предпочтительно в родительном падеже: оси.
Предпочтительно: страны оси Берлин – Рим.
В родительном падеже: Ахметова Саида Абдуллы Кызы; Ахметова Абдула Саида Оглы.
Можно и нужно. Женская фамилия Абдула склоняется: Абдулы, Абдуле и т. д.