Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Корректно написание с заглавной буквы, так как это закрепившееся название территориальной единицы. См. словарную фиксацию. Подробнее о подобных названиях можно прочитать в правилах употребления прописных и строчных букв в географических и административно-территориальных названиях.
Правильно: азиатский. Словарь Даля отражает орфографическую норму более чем столетней давности, им нельзя пользоваться для проверки современного написания слов.
Вместо двоеточия следует поставить тире, других знаков препинания не требуется.