Да, правильно: в городе Торопце.
Ударение в фамилии Коробко может стоять на любом слоге, чаще встречается вариант с ударением на последнем слоге. Но в целом ударение в фамилии определяется семейной традицией.
Лучше: Вы можете протестировать слуховой аппарат дома; Вы можете дома проверить, подходит ли Вам слуховой аппарат.
Правильно: с коротко стриженными ногтями.
Фамилия Сороко не склоняется (ни мужская, ни женская).
Вы включили в этот перечень совершенно разные с точки зрения грамматики названия. Осло, Торонто – иноязычные названия, они не склоняются. А вот Люблино, Бирюлёво, Орехово-Борисово – славянские топонимы, они всегда склонялись и продолжают склоняться. Подробнее о таких названиях см. здесь.
В значении 'в нескольких словах' можно использовать оба слова – и коротко, и кратко, разницы нет. Но есть значения, в которых эти слова не являются взаимозаменяемыми. См. «Проверку слова».
Запятая нужна, но предложение в целом построено неверно: нет подлежащего, к которому относилось бы деепричастие.
Верно с прописной.
Лучше всего использовать описательный оборот: жительница Торонто.
