В этом предложении знаки препинания расставлены правильно. Запятая стоит перед и, так как в предложении две грамматические основы: мы писали и я допустила. Обстоятельственный оборот с предлогом несмотря на обычно обособляется, за исключением тех случаев, когда оборот входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу.

Вы корректно оформили предложение, какие-либо знаки препинания добавлять или убирать не требуется.

Запятая перед как считать нужна.

Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.

После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы и не пишется и. Происхождение слова в данном случае не имеет значения. Например, к латинским словам, образованным с помощью приставки in-, восходят слова интеграл, инерция, но правильно только безынтегральный, безынерционный. Орфографически верен только один вариант слова, о котором идет речь: безынтерфероновые.

Надо сказать, что в практике письма до принятия в 1956 году действующих правил правописания существовали значительные колебания в словах типа безынтерфероновый. Боролись две тенденции: сохранять единство корня и писать после приставок не ы, а и (такие написания были особенно характерны для терминологической лексики) и после русских приставок писать ы в соответствии с произношением. Задача унификации написаний, устранения орфографического разнобоя была решена в пользу последней тенденции. Однако, несмотря на принятие правила, по которому и разрешалось писать только после заимствованных приставок и которому в целом печать стала следовать, в профессиональном языке сохранялись отдельные написания типа безинтерфероновый. Язык словно сопротивлялся волевому решению лингвистов. В 1964 г. в проекте реформы орфографии был пункт о разрешении двояких написаний и/ы после приставок на согласный. Однако общество резко отвергло реформу, в том числе предложение о вариативных написаниях. Поэтому правило продолжает действовать, хотя язык, что хорошо видно из Вашего примера, продолжает сопротивляться принятому правилу. 

Правила оформления прямой речи не менялись. Если после прямой речи стоит вопросительный, восклицательный знак или многоточие, слова автора всё равно начинаются со строчной буквы: «Да проститься же надо было!..» — понял он, когда крытая машина взбиралась уже на взвоз (Шукшин); «Голубоглазый мой ангел-хранитель, что ты смотришь на меня с такой грустной тревогой?» — хотел иронически сказать Крымов (Бондарев).

Правда, есть один частный случай, когда прописная буква после прямой речи всё-таки возможна. В справочнике Д. Э. Розенталя «Пунктуация» приведено такое правило: если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.

Орфографический словарь

Предлог несмотря на пишется слитно (несмотря на все трудности), деепричастие — раздельно (не смотря по сторонам).

Да, запятая нужна, чтобы обособить оборот с предлогом "несмотря на".

Ср.: несмотря на, предлог (несмотря на все трудности, несмотря ни на что), но деепр. не смотря (не смотря по сторонам).