Орфографически правильно написание со строчной: крестный ход (во всех случаях).
Запятые возможны, хотя не обязательны.
Корректно без кавычек.
Указанные запятые не нужны.
Какой вид разбора вызывает у Вас затруднения?
Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Нет, это не омонимы. В сочетании красный командир прилагательное изменило свое значение.