Правильно с прописной (большой) буквы.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Корректно: был переведен в ключевой район.
Правильно: резанный на куски батон.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.