Начинать предложение с союза или не запрещено. Приведенный Вами пример корректен.
Сочетание изложить проблему корректно.
Женская фамилия не склоняется. Мужскую корректно склонять так: Заеца, Заецу, Заеца, Заецем, о Заеце.
Корректная пунктуация: Ну как немного — пять минут до начала пары.
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.
Если сочетание имеет значение приблизительного указания, ставится дефис, например: в марте-апреле («то ли в марте, то ли в апреле»). Если же сочетание обозначает интервал значений («от... до»), ставится тире, пробелы нужны: в марте – апреле (т. е. с каких-то чисел марта до каких-то чисел апреля), в марте – мае (с марта до мая).
Корректная пунктуация: А во главе праздника, конечно, Дед Мороз – большой, ростом с...
Употребление приветствий регулируется нормами речевого этикета. См. ответ на вопрос № 270574.
Если помнит тоже относится к городу, фразу надо править. Корректно: Сказал, что помнит город своего детства и скучает по нему.
Можно поставить запятую перед прошу, но это совсем не обязательно.
