Правильно: Родина первого Совета. О склонении географических названий см. в Письмовнике.
Здесь возможно: посетило и посетили. См.: Единственное и множественное число сказуемого.
Форма единственного числа – инк. Ср.: танки – танк, бланки – бланк, панки – панк.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Орфографически верно: скромняжка. См. также: 371370">http://gramota.ru/spravka/buro/29371370
Верны варианты: под подпись, под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
Верны оба варианта. Подробно о склонении географических названий см. в «Письмовнике».
Читерство – мошенничество в сетевых играх. Подробно о читерстве см. в «%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%85" target=blank>Википедии».
Правильно: 1-м, 1-го, 1-му. См. Когда нужны буквенные наращения после цифр?