Правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию. В параграфе 159 полного академического справочника под ред. В. В. Лопатина приведена такая формулировка: «...если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки; неодинаковые знаки (перед кавычкой и после кавычки) ставятся». В правиле не оговорено, что точка не включается в число этих «неодинаковых знаков», хотя на практике, в том числе в оформлении примеров в параграфе 196 Правил 1956 года, эта точка не ставится. Очевидно, при решении, ставить ли точку в таких случаях, нужно учитывать некоторые дополнительные факторы.

В приведенном Вами примере содержится два фрагмента прямой речи — видимо, сказанных в разное время и (или) в разных ситуациях (в ином случае корректнее было бы оформить их как один фрагмент прямой речи: Он спрашивал меня: «Как дела? Что делаешь?»), — возникает перечисление, маркируемое запятой, и после этого перечисления, завершающего предложение, нужно поставить точку.

См. также ответы на вопросы 309083, 322135.

Запятые лучше поставить. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

Нормы менялись. Более ранние ответы даны в соответствии с изданием «Русского орфографического словаря» 1999 года, более поздние — в соответствии с рекомендациями издания того же словаря 2006 года. Следует ориентироваться на более поздние рекомендации и писать эти сокращения без точек.

Согласно словарю «Прописная или строчная?» (В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова), Президент пишется с прописной (большой) буквы в значении 'глава государства' в текстах официальных документов, поэтому правильно: Договор, подписанный Президентом Российской Федерации и Президентом Французской Республики.

Рекомендации справочников (см., например, справочник Д. Э. Розенталя): с целью обеспечить – в целях обеспечения. Но при этом нет и прямого запрета на использование варианта с целью обеспечения.

Есть небольшое смысловое различие. Мы очень дружелюбные = таков наш характер, всегда и по отношению ко всем. Мы очень дружелюбны = по отношению к кому-либо и в какое-то время.

Пунктуация зависит от смысла. Если во второй части предложения указана причина того, о чем говорится в первой части, ставится доеточие. А если следствие, вывод, то ставится тире.

Корректно с запятыми: В сундуке, кроме толстого слоя пыли и старых тряпок, ничего не оказалось. Сейчас рекомендуется выделять запятыми обороты с предлогом кроме независимо от значения предлога.

Слово "пригнетыш" можно найти в "Словаре русских народных говоров" (том 31). Там же - пригнетный венец "Венец сруба,в который врублено бревно, служащее опорой для потолка (матица)"; пригнётик - "Жердь, которой прижимают соломенную крышу"; пригнёт - "Тяжелый предмет, гнет; жердь, которой прижимают снопы, сено на возу".

С пригнетом говорить -  "Медленно говорить, подчеркивая каждое слово".

Что касается значения "пригнетыша", то Словарь русских народных говоров сообщает следующее: это слово используется в загадке "Всем пригнетыш" (о медведе). В сказке "Теремок" это слово почти что в "строительном значении", а медведь - в роли жерди, прижимающей крышу.

Нормативной рекомендации в данном случае нет.