Корректно: Ни кто они, ни откуда явились, было неизвестно.
Верно: США стали крупнейшим инвестором.
Следует писать с большой: Он чувствовал, что нужно что-нибудь сказать. Вроде «Забудь всё, что здесь происходило», «Никому не рассказывай» или «Спасибо за всё, что ты для меня делаешь».
Сочетние открыть веки корректно и встречается в художественной литературе: у Бориса Житкова, Александра Солженицына, Александра Проханова, Михаила Шишкина и некоторых других писателей. Так что ошибки нет.
Оба варианта возможны.
Возможно как слитное, так и раздельное написание в зависимости от контекста.
Действительно, такой оборот вносит интонацию непринужденной разговорной речи. Поэтому он не везде уместен: чтобы принять решение, нужно оценить стиль всего текста.
Правильно: верить во что-то.
Возможны оба варианта, но они различаются по значению. На квартире говорят, когда имеют в виду съемное или временное жилье, например: Жил у тетки на квартире.
Названия, написанные латиницей, в текстах на русском обычно не заключаются в кавычки. Курсив также не требуется.
