Бытовые названия (сморчки, подберезовики, подосиновики и т. п.) пишутся со строчной буквы.
Правильно с кавычками и со строчной. И лучше: проходить обучение по специальности.
Как правило, сказуемое ставится в форме единственного числа. Подробно см. в Письмовнике.
Да, и со словами, начинающимися гласной, медиа... пишется слитно. Правильно: медиаактивист, медиаактивность.
Правильно: не[ч]то. Есть и просторечная частица нешто со значением "разве".
О глагольном управлении ждать чего / что см. в ответе на вопрос № 172983.
Правильно: заведующая Марина Владимировна.
Такое употребление в разговорной речи допустимо. См. также ответ на вопрос № 254328.
Правильно: четыреста тысяч семьсот тридцать два. См. также: Как правильно употреблять числительные?
Правильно: нет восьмисот пятидесяти рублей. Подробно о склонении числительных см. в «Письмовнике».
