В речи форма метаясь встречается, однако словарями фиксируется как нормативная только форма мечась. Так, например, в «Гамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка.
Если предложение из официально-деловой речи, где важна точность, то лучше выбрать второй вариант. В менее строгих условиях возможен и первый вариант, если смысл понятен по контексту.
Сочетание можно осмыслять по-разному, то есть по-разному определять границы имени собственного, и в зависимости от осмысления выбирать графическую форму. Запятая возможна, если считать красный нос приложением, также возможно тире. Дефис объяснить труднее. Можем осторожно предположить, что с помощью дефиса хотели показать слитность, цельность сочетания, которое присоединяется к первой части имени как единый компонент. О собственных именах с приложением можно прочитать в научной статье «Прописные и строчные буквы в собственных именах, прозвищах, псевдонимах, кличках: Проект академических правил».
Слова вручатель и вручант не фиксируются словарями, воспринимаются как искусственные образования. Вручающего награду можно так и назвать — вручающий, а получающего — получающий (ср. обучающийся, трудящийся).
Если убрать союз что, предложение превращается бессоюзное сложное с изъяснительным значением (на это значение указывает глагол чувствовать, предупреждающий о последующем изложении какого-либо факта).
Между частями таких предложений ставится двоеточие, но необязательно. При глаголах, выражающих чувственное восприятие, возможна и постановка запятой — если пишущий не намерен выразить предупреждение: Слышу, с полей донеслась жалейка, ветер дыханье полей принес.
Поэтому верны оба варианта: и с двоеточием, и с запятой.
В предложении Может, погуляем? запятая нужна, поскольку может — вводное слово.
В первом предложении придаточное присоединительное отделяется от главного интонационно, поэтому ставится тире.
Во втором предложении перед пояснением можно поставить тире или двоеточие.
Если существительные и прилагательные в сочетании с не обозначают непринадлежность к какому-либо разряду лиц или явлений, то не пишется слитно: неиудеи.
Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, Бангладеш – существительное женского рода: далекая Бангладеш.
Правильно: готовиться к первому сентября (если имеется в виду день 1 сентября). Ср.: готовиться к первому школьному сентябрю в своей жизни (к месяцу сентябрю).
