Нет, в официальных документах с прописной принято писать наименования Государственный герб РФ, Государственный гимн РФ, Государственный флаг РФ. К символам иных государств (в том числе и СССР) это не относится.
Запятые в этом предложении не нужны.
Если аббревиатура ЖЭС обозначает жилищно-эксплуатационную службу, то это слово женского рода: ЖЭС умыла руки.
Корректно с запятой: Нам нужно двигаться в направлении, обратном направлению градиента.
Корректно: В столице Орды Сарай аль-Джедиде.
Да, нужно закрыть придаточную часть.
Да, сочетание будь добр (будь добра, будьте добры), подчеркивающее просьбу, выделяется запятыми.
Женская фамилия не склоняется. Мужскую корректно склонять так: Заеца, Заецу, Заеца, Заецем, о Заеце.
Такое употребление некорректно. Верно: покраска, окраска, окрашивание одежды.
В первом сочетании запятая не нужна. Во втором – запятая также не ставится, если оборот используется в значении 'никто не знает'.
