Возможны оба варианта, но они различаются по значению. Горячие вакансии – это актуальные, популярные, востребованные вакансии, а горящие вакансии – это те, которые требуют немедленного заполнения.

Словарной рекомендации нет, но, как правило, если обе части составного существительного склоняются, то род всего сложносоставного существительного определяется по роду первого слова: подписанный план-задание. 

Если искать лишнее слово по словообразовательным признакам, то можно дать несколько вариантов ответа.

1. Лишнее – грецкий, т. к. его можно считать непроизводным словом, в отличие от трех других. Исторически это преобразование слова греческий. Но прямой смысловой связи между словами грецкий и греческий, грек, Греция в языке уже нет. Сейчас грецким может быть только орех, но растет он не только в Греции. 

2. Лишнее – солнечный. Только при образовании этого прилагательного в основе появляется беглый гласный. 

3. Лишнее – задорный. Оно образовалось суффиксальным способом от слова задор (задорный – 'проникнутый задором, выражающий задор'). Но задор не является начальным словом в словообразовательной цепочке. Оно само образуется от глагола задрать бессуффиксным способом (тот же способ называют нулевой суффиксацией), а задрать – от драть приставочным способом. Такую цепочку выстраивает А. Н. Тихонов в «Словообразовательном словаре русского языка». Однако это объяснение не вполне соответствует сегодняшним смысловым связям между словами задор и задрать (см. значение этих слов в словаре).

По общему правилу, нужна запятая, но при интонационном подчеркивании вместо запятой можно поставить и тире. Поэтому приведенный Вами вариант возможен. Обратите внимание: правильно нечем гордитЬся.

По современным правилам деепричастный оборот использован неверно, но в XIX веке это считалось допустимым. Это точная цитата, и ее вполне можно использовать в качестве эпиграфа.

Существительное женского рода от завсегдатай не образуется, но это слово вполне может быть использовано по отношению к лицу женского пола, например: Маша – завсегдатай ночных клубов.

Возможны оба варианта, но они различаются по значению. На квартире говорят, когда имеют в виду съемное или временное жилье, например: Жил у тетки на квартире.

К сожалению, у нас нет возможности работать круглосуточно. Сотрудники «Справочного бюро» отвечают на вопросы ежедневно с понедельника по пятницу с 11:00 до 19:00.