Корректно раздельное написание: широко мыслящий, узко мыслящий.
Правильно дефисное написание: делегаты-мужчины.
Написание буквы на месте безударного гласного в суффиксе -ет- можно проверить другим словом с тем же суффиксом, где гласный будет под ударением. Проверка: тще́тный.
Корректно: купить продукты.
Корректно раздельное написание: педагогически активный.
Правильно: половина респондентов планирует.
Р. п.: Королёвой; Д. п.: Королёвой; В. п.: Королёву; Тв. п.: Королёвой; 6. Пр. п.: о Королёвой.
Корректно слитное написание: сервошаговый двигатель.
Выбор предлога зависит от контекста. Со дня употребляется в значении начальной точки отсчета времени: со дня свадьбы прошло два месяца, также в устойчивом сочетании со дня на день (в значении 'скоро'). Но ср.: выложены фото с дня рождения (нет устойчивого сочетания, нет значения точки отсчета времени).
