Это сочетание лексически избыточно, т. к. значение слова первопрестольный - 'являющийся старейшей столицей'. Правильно: первопрестольный город или первая столица.
Правильно: видеоинтервью. Первая часть сложных слов видео... пишется слитно.
Верно писать через дефис: программа-минимум.
Согласно «Морфемно-орфографическому словарю» А. Н. Тихонова, в этом слове корень -кал-.
Верно: под Бородином.
Можно считать это название именем собственным и писать с большой буквы.
Здесь нужны пробелы до и после тире.
В приведенной Вами цитате нет родственных слов.
Оснований для постановки запятой нет.
В бессоюзном сложном предложении ставится двоеточие, если вторая часть имеет изъяснительное значение (между частями предложения можно вставить слово что): Ты же знаешь: он за тебя жизнь отдаст. Но можно здесь поставить и запятую. Окончательное решение принимает автор текста.
