Правильно: блюда русской и украинской кухни.
См. в Словаре трудностей.
Да, корректно с запятой.
"Висячим" называется предлог, расположенный в конце строки и связанный по смыслу с самостоятельным словом в начале следующей строки. Правила правописания ничего не говорят о таком предлоге, правила типографики (оформления печатных текстов) рекомендуют перенос висячих предлогов на новую строку.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Если слово управление имеет значение 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.', то оно требует формы родительного падежа: управление образования. В других случаях корректно: управление финансами, управление автомобилем.
Эти сочетания корректны, но писать следует без дефиса, в два слова: январь месяц, май месяц.
Пунктуация в Вашем отрывке верна.
