Слова в виноградниках не стоит считать общим второстепенным членом: вряд ли имеется в виду, что ветер стих в виноградниках. Ветер стих вообще, и в виноградниках начала распространяться прохлада.

1. Прилагательное частнонаучные (методы) пишется слитно, так как образовано от основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер (частные науки).

2. Сложные слова с первой иноязычной (интернациональной) частью, кончающейся на гласную, пишутся слитно. При этом в слове может быть несколько таких частей: автомотовелогонки, астроспектрофотометрия, палеофитогеографический, космогеобиопсихосоциальная (природа человека).

3. Это сочетания наречия (отвечающего на вопрос как?) и причастия, поэтому корректно раздельное написание: дисциплинарно организованные и междисциплинарно организованные системы.

Вопросы словообразования и деления слова на морфемы всегда сложны, так как зависят от точки зрения того или иного ученого. Если считать, что прилагательное отцовский образовано от прилагательного отцов, то в нем следует выделять два суффикса (-ов- и -ск-), а если полагать, что отцовский образовано прямо от существительного отец, то в нем обнаруживается только один суффикс -овск-. Ср.: банковский, мартовский, нэповский и т. п. 

Верно: выполняет задачи и обладает полномочиями. В перечне лучше написать: задачами и полномочиями... являются (далее в им. п.).

Это англицизм, правильнее сказать: У тебя грамотная письменная и устная речь.

В справочниках по русской пунктуации запрет на постановку точки после цитаты, оканчивающейся вопросительным или восклицательным знаком, прямо не прописан. Вместе с тем приводимые в школьных учебниках схемы оформления прямой речи (а цитаты «заключаются в кавычки и оформляются знаками препинания так же, как прямая речь») не содержат точки после кавычек, если внутри кавычек есть вопросительный или восклицательный знак: 

Учитывая это, рекомендуем не ставить точку: В произведении автор пишет: «Типичное русское захолустье, а ведь какое изящное, если посмотришь на него с реки!» У других наблюдателей мы находим...

Если на стыке основ образуется удвоенная согласная, то это удвоение должно сохраняться, чтобы, как писал М. В. Ломоносов, не закрывать следы произвождения и сложения речений. Ясность структуры слова особенно важна для терминов. Соединение основ фальш- и шток- должно образовывать слово фальшшток. Написание фальшток может быть воспринято как соединение основ фальш- и ток-. Конечно, удвоение ш нехарактерно для русского языка, поэтому у пишущего может возникнуть желание разделить части дефисом. Если бы существовала устойчивая традиция дефисного написания, то слово могло бы претендовать на включение в словарь с дефисом, как исключения из правила. Но в отсутствие такой традиции предпочтительно написание по правилу. 

Для использования прописных букв нет оснований: В 1553 году по приговору женевской консистории был казнён за еретические взгляды испанский богослов, философ и учёный Мигель Сервет. В 1542 году в городе была основана консистория [англ.] — орган религиозного управления, совет главных служителей.