Прояснить условно-следственные отношения между частями бессоюзного сложного предложения нужно с помощью тире; вводное слово возможно в начале второй части отделяется от нее запятой: Накиньте на себя этот плащ — возможно, и удастся (скрыться).

В этом предложении отношения между деепричастием думая и сказуемым победил противительно-уступительные («победил, хотя/но думал, что...»), деепричастие не характеризует действие, выраженное сказуемым, а обозначает отдельную ситуацию. Соответственно, запятая перед ним нужна.

Запятая нужна, это сложное предложение. Заметим, что параллелизм структуры его частей говорит о том, что между ними сопоставительные отношения, которые выражаются определенными союзами, например повторяющимся союзом и: И в гостях хорошо, и дома неплохо.

Не очевидно, что оба события (изменение отношения к питью из блюдца и изменение роли блюдца в чаепитии) произошли одновременно. Более логичным было бы считать, что между ними прошло некоторое время, поэтому запятую рекомендуется поставить. 

Рекомендуем Вам обратиться с этим вопросом в Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Вопросы об идентификации имен и фамилий можно задать по телефону (495) 695-26-60 При необходимости Институт выдает справки об идентификации имен (при предъявлении документов, в которых имеется вариативное написание).

К правописанию Ваш вопрос не имеет отношения. Правописание – это орфография (правила написания слов) и пунктуация (правила расстановки знаков препинания). Вопрос о том, где должен стоять значок доллара – до или после числа, – правилами правописания не регулируется.

Здесь можно усмотреть отношения логического обоснования: автор считает, что «особое внимание ученых было уделено исследованию роли культуры в процессе обучения», потому что «данный аспект рассматривался с разных сторон (Иванов, Смирнов, Сидоров)».

Возможны варианты: Помню раннее, свежее тихое утро; Помню раннее свежее, тихое утро и Помню раннее, свежее, тихое утро.

В таких случаях пишущий волен выбирать, между какими именно определениями он в условиях контекста усматривает синонимические отношения. 

Да, здесь вполне можно усмотреть отношения логического обоснования между частями бессоюзного сложного предложения. Канонический знак для их выражения — двоеточие: Это прощальная улыбка уходящего лета: скоро ночи станут синими, а потом, как и всюду, чёрными. 

Передать эту языковую игру на письме можно только раздельным написанием: имеет право на лево. Слово лево в таком случае будет использоваться в функции существительного, т. к. обозначает предмет (ср.: связь на стороне, отношения на стороне).