Русский орфографический словарь

отру́б, -а, мн. -ы, -ов (место разруба; состояние)

В приведенном предложении общим обстоятельством для двух грамматических основ является оборот с предлогом по завершении (не сам по себе предлог), а потому запятую действительно ставить не нужно: По завершении всех испытаний прозвучит поздравление от ведущего и будет объявлен победитель.

Слово логарифм пришло к нам из французского языка (фр. logarithme), в котором восходит к греческим словам logos (λόγος) 'слово, понятие, учение' и arithmos (ἀριθμός) 'число'. Получается, что буква а в словае логарифм — это первая буква второго греческого корня. Самое что ни на есть справедливое написание, отражающее историю слова. Поэтому менять орфографию слова логарифм не планируется.

Возможен и тот, и другой вариант. Существительные одушевленные при обретении значения, не отнесенного к живому существу, могут сохранять исходные падежные формы, что предопределяет выбор варианта как виртуального помощника. В то же время представление о том, что речь идет о созданном людьми программном продукте, в силах склонить говорящего к той падежной форме, какая характеризует употребление неодушевленных существительных: как виртуальный помощник.

Планеты совершают движение, движение планет совершается — такие понятные для нас обороты встречаются в научно-популярной литературе по астрономии. Допускаем, что в цитируемом фрагменте текста оправданно сочетание движение происходит. Полагаем, что выражаемое в предложении суждение может быть передано менее сложной синтаксической конструкцией, избавляющей и от лексических повторов.

Сочетание и особенно быть лендлордом выделено верно, это присоединительная конструкция.

Никаких ошибок в предложении нет.

ЛЕГИТИМНЫЙ, -ая, -ое; -мен, -мна, -мно. [от лат. legitimus - законный, правомерный] Законный. Л-ая власть. 

ЛЕГАЛЬНЫЙ, -ая, -ое; -лен, -льна, -льно. [лат. legalis] Признанный, разрешаемый законом. Л-ая партия. Л-ая печать. Л-ое положение. // Использующий допускаемые законом возможности, основанный на использовании их. Л-ая форма борьбы. ◊ Легальный марксизм. Идейно-политическое течение (в последнее десятилетие 19 в.) части российской буржуазной интеллигенции, пытавшейся использовать для обоснования развития капитализма в России отдельные положения экономического учения К. Маркса. <Легально, нареч. Л. издавать газету. Легальность, -и; ж. Л. положения. 

Мы ориентируемся «Русский орфографический словарь», который рекомендует написание: невзирая на лица.