Правильно: Отдел внешних церковных связей Московского патриархата.
Правильно через тире, т. к. приложение состоит из нескольких слов: депутат — член фракции. Однословное приложение присоединялось бы дефисом, ср.: депутат-единоросс.
Если первая часть — это аббревиатура, то корректно: СИП-панель. Другие слова такого типа — СМС-сообщение, ЖК-панель. Аббревиатура СИП в орфографических источниках пока не отражена, но можно ориентироваться на словарную статью «СМС». Кликнув в статье по номеру параграфа, Вы увидите правило во всем его объеме.
Правильно: в продолжение. Это производный предлог. Обратите внимание: в Вашем предложении запятая не нужна.
Чтобы записать правильно это новое слово, можно воспользоваться общей рекомендацией орфографического словаря.
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Правильно: хватит не на один день. Сочетание не один означает 'много'. Частица ни усиливает отрицание, поэтому она употребляется в предложениях с отрицательным сказуемым, т. е. сказуемым, включающим частицу не или выраженным словами нельзя, нет. Ср.: не ответил ни на один вопрос.
Корректно написание со строчной буквы. С прописной буквы пишется Федеральный закон как начало официального названия.
Корректно: «Камень, ножницы, бумага».
Правильно: Он снял все украшения, кроме серёг.
