Корректно: отдел внешних коммуникаций и управления карьерой.
Корректно: Пять проектов прошли на областной этап.
Слово "забесплатно" пишется слитно. В данном случае "забесплатно" означает "бесплатно", "даром" и используется в наречном значении.
Корректно дефисное написание: недолго-коротко. Ср.: жили-были и т. п.
Правильно: со щитом. Предлог со последовательно употребляется перед словами, начинающимися с согласного [щ].
Правильно: не сполна. Отрицание не пишется раздельно с наречиями (кроме образованных от прилагательных с помощью суффикса -о), а также с неизменяемыми словами, употребляющимися в роли сказуемого.
Оба варианта корректны.
Оба варианта возможны.
Выбор варианта зависит от особенностей описываемой ситуации, а точнее, той процедуры, которая пока представлена весьма лаконично.
Нужно написать отглагольное прилагательное непрошеных с одной н. В остальном предложение написано верно.
