Правильно: на таком-то году (жизни, пребывания где-либо и т. п.): на четвертом году обучения (см.: Еськова Н. А. Краткий словарь трудностей русского языка. – 6-е изд., испр. – М., 2005).
Такое употребление неверно, оно нарушает нормы русского литературного языка. Правильно: мы поехали домой, дома сегодня кормят супом, рюкзак лежит дома.
Запятая нужна. Ею нужно разделить главную и придаточную части сложного предложения.
Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.
См. в "Словаре трудностей".
Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Верно: на мосту.
Лучше: назначен директором филиала. Как вариант: назначен на должность директора филиала.
Такого правила нет. Место ударения в фамилии определяет ее носитель.
Варианты корректные. Как можно предположить, существительные с предлогом заменяют словосочетания типа финальные соревнования, финальный турнир, финальная встреча и т. п. При выборе вариантов стоит принять во внимание то, с каким словосочетанием они соотносятся.
