В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша  — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).

Прилагательное патовый образовано от существительного пат – положение в шахматной игре, при котором фигуры одной из сторон не имеют ходов и королю не объявлен шах (партия в таком случае признается ничейной). В переносном значении патовый – безвыходный, патовая ситуация – безвыходная ситуация.

1. Запятую лучше не ставить.
2. Да, эти названия следует заключать в кавычки, если они написаны кириллицей.
3. См. в «Письмовнике».
4. Сложные слова с первой частью бизнес- пишутся через дефис, кроме слов бизнесмен, бизнесвумен. Правильно: бизнес-отношения, бизнес-карта.
5. Предпочтительно: при написании работы используйте следующие слова.
6. Пунктуация зависит от смысла предложения. Если слова заведующий лабораторией, заведующая отделом кадров используются как уточнение или приложение, пунктуация верна.

В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) зафиксировано: тачпад, но тач-панель. Разница в написании объяснима: слово панель есть в русском языке, а слова пад нет (ср.: бизнес-леди, но бизнесвумен). По аналогии можно рекомендовать написание тачскрин, но тач-поверхность, тач-экран.

Достаточно одной приставки, ср.: соединить - разъединить, съехаться - разъехаться и т. д. Правильно: распарить, распаренный (правда, возникает омонимия с производными от слова пар).

Верно: прием на первый, второй, третий  (1-й, 2-й, 3-й) путь; отправление с первого, второго, третьего пути.

Армагеддон  пишется с прописной буквы, если употребляется в значении 'место последней, решающей битвы на исходе времен (в христианских представлениях); сама эта битва'. Написание со строчной возможно в переносном значении 'о великом сражении, решающей битве'.

От глагола махать образуются две формы – маша и махая. С нормативной точки зрения они равноправны (в отличие от личных форм настоящего времени, где машу, машет – предпочтительные формы, а махаю, махает – разговорные).

Простое лексическое решение — использовать дополнительное (и не лишнее) слово в сочетании с наименованием компании или провайдера, например: представители, руководство и т. п. Фраза станет точнее и понятнее, а грамматическая дилемма решится сама собой.

Более правильный вариант: Арбитражный суд города Москвы в составе судьи Ивановой И. И. в порядке взаимозаменяемости с судьёй Петровой П. П., рассмотрев заявление... Иначе получается, что судья Петрова П. П. взаимозаменяема сама с собой.

В двойных фамилиях первая часть склоняется, если она сама по себе употребляется как фамилия, а это как раз наш случай. Поэтому следует склонять обе части фамилии, например: Михаила Немчинова-Гринемайера, Михаилу Немчинову-Гринемайеру и т. д.