Корректно: На ходу он кинул: «Береги его!» – и вышел за дверь.
Запятая между главной частью и придаточной, присоединяемой простым союзом или союзным словом, не ставится, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит сочинительный союз и. Таким образом, указанная запятая не нужна.
Кавычки не нужны.
Правильный только один вариант: елей.
Тире ставится между репликами, принадлежащими разным лицам и снабженными разными авторскими словами. Правильно: Спрашиваю: «Почему?» – «Он болен», – отвечают.
Да, слова в сущности выделяются запятыми как вводные: Над ними он, в сущности, потешается.
В конце этого предложения нужно поставить точку.
Да, пунктуация верна.
Запятую нужно поставить между частями сложного предложения.
Можно поставить запятую или тире: Вот она, та самая цифра... Вот он, рекорд скорости. Вот она – та самая цифра... Вот он – рекорд скорости.
