Глагол недоедать употребляется в значении 'есть недостаточно, плохо питаться'. А глагол доедать  означает 'съедать до конца', поэтому верно: не доедать борщ ('не съедать борщ до конца').

На разнице в значении глаголов недоедать  и не доедать  основан юмористический эффект в довольно известном анекдоте советской эпохи. Рабочие пишут письмо в ЦК КПСС: «Мы, пролетарии Нечерноземья, прочитали в «Правде», что негры в Африке недоедают. Нельзя ли все, что они не доедают, присылать нам?»

Приставочные (и приставочно-постфиксальные) глаголы относятся к тому же типу спряжения, что и бесприставочные глаголы, от которых они образованы. Поэтому для того, чтобы определить тип спряжения глагола выспаться, надо определить тип спряжения глагола спать. Это глагол с ударными личными окончаниями (спишь, спим, спят), тип спряжения у таких глаголов определяется по окончаниям. Как мы видим, спать – глагол второго спряжения, поэтому глагол выспаться тоже относится ко второму спряжению, а следовательно, правильно: выспишься.

Правилен первый вариант. Глагол перечить относится ко II спряжению, так как имеет безударные личные окончания, в инфинитиве заканчивается на -ить, не относится к исключениям. В личных окончаниях глаголов II спряжения пишутся гласные и, а, я. 

Определить окончание глагола можно с помощью орфографического словаря. Там указывается форма первого и третьего лица единственного числа. Окончание третьего лица единственного числа позволяет установить спряжение. Окончание -ет говорит о том, что глагол относится к I спряжению, -ит — ко II спряжению. 

Частица ка употребляется после глаголов в форме 1-го лица ед. и мн. числа буд. времени изъяв. наклонения. В первом случае она выражает обращенное к себе побуждение к действию, напр.: Или нет, расскажу-ка я вам лучше, как я женился (Тургенев И. С. Гамлет Щигровского уезда). Во втором употребляется для устранения категоричности выражаемого глагольной формой побуждения к совместному действию говорящего и собеседника, напр.: «Пойдем-ка на пару слов, Люба», ― позвал Егор (Шукшин В. Калина красная).

Правильно: за считаные минуты. Слово считаные в значении 'очень немногие' пишется с одним Н. См.: Русский орфографический словарь / Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова / О. Е. Иванова, В. В. Лопатин (отв. ред.), И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. М., 2007.

Отметим, что сейчас написание слова считаный приведено в соответствие общему правилу: в отглагольных прилагательных, образованных от бесприставочных глаголов несовершенного вида, пишется одно Н. Раньше написание считанный приводилось в списке исключений.

Вы правы. Вытечь, выбежать – глаголы совершенного вида. Формы настоящего времени имеют только глаголы несовершенного вида; у глаголов совершенного вида две формы времени – прошедшее и будущее. Для образования настоящего времени НСВ и будущего СВ используются одни и те же окончания (читаю — прочитаю), поэтому информацию о времени мы извлекаем из взаимодействия окончания и видовой принадлежности глагола.

См. академическую «Русскую грамматику» 1980 года, «Словарь лингвистических терминов» Д. Э. Розенталя и М. А. Теленковой (статья «Вид глагола») и др. источники.

Управление обоих глаголов зависит от значения. Правильно: придать что (дать, сообщить какое-либо качество, свойство, какую-либо особенность: придать детали нужный изгиб) и придать чего (увеличить, усилить какое-либо качество: придать храбрости, страх придал сил); добавить что (полный охват предмета действием: добавить литр воды) и добавить чего (частичный охват предмета действием: добавить сахара в чай). 

Таким образом, правильно: придать нужную форму (дать нужную форму), добавить оригинальности (внести элементы оригинальности).

См.: Розенталь Д. Э. Управление в русском языке. М., 2005.

В современном языке оба слова содержат корень (балабол-, баламут-) и окончание. В этимологическом отношении слово баламут является результатом сложения части *bala-, обнаруживаемой в словах балагурить, балакать звукоподражательного происхождения (или производных от баять), и корня *mǫt- (ср. мутить, смута, смущение и др.). Слово балабол связано с балаболить, которое из звукоподражательного *bolboliti (ср. *golgoliti > диал. гологолить, *tortoriti > тараторить). У восточных славян *bolboliti должно было дать *болоболить, но глагол, видимо, изменил огласовку под влиянием глаголов баять или балакать.

Не пишется слитно в составе глагольной приставки недо-, означающей неполноту, недостаточность по сравнению с нормой: недоварить (варя, не довести до состояния готовности), недоделать (сделать меньше нужного).

Но от глаголов с приставкой недо- следует отличать глаголы с приставкой до- и предшествующей частицей не (такие глаголы с частицей не обозначают не доведенное до конца действие, они пишутся с не раздельно – по общему правилу), например: мама не доварила суп (не смогла, не успела доварить), я не додедал работу (не смог, не захотел доделать).

Слово опилки образовано префиксально-суффиксальным способом от глагола пилить, ср.: пили-ть → о-пил-к-и (с усечением производящей глагольной основы); пить → опивки (с наращением корня за счет согласной в) и т. п. Производные существительные, образованные по этой модели, имеют значение ‘нечто, остающееся после совершения действия, названного производящим глаголом’.

Обратите внимание на то, что префиксально-суффиксальным способом образованы только те существительные с приставкой о-, которые не имеют производящих глаголов с этой приставкой. Другие отглагольные существительные с этой приставкой образованы суффиксальным способом, например: очистить → очистки.