Термин лин-конференция связан с понятием lean manufacturing, которое обычно обозначают по-русски как бережливое производство. Соответственно, лин-конференция — это конференция по обмену опытом в сфере бережливого производства. По нашим наблюдениям, часть лин- не в полной мере освоена русским языком, ее часто записывают латиницей: lean-технологии, lean-подход и т. п. При передаче этой части кириллицей прописные буквы являются, видимо, результатом орфографической гиперкоррекции.

Предложное управление для этого относительно нового слова нельзя назвать устоявшимся. Тренд к — по аналогии с тенденция к, тренд на — по аналогии с мода на. Однако в практике письма явно преобладает сочетание тренд на: Отсюда заметный в последнее время тренд на профанацию качества в среднем сегменте и депрессивные настроения среди части бизнесменов [Вера Краснова, Анастасия Матвеева. Свадьба дела с идеалом // «Эксперт», 2009]; Хочу заметить, что еще пару лет назад намечался тренд на поддержку современной культуры... [Ирина Прохорова, Андрей Архангельский. «Необязательно гордиться душегубами» // «Огонек», 2014] и т. д. 

Наречие только что, имеющее значение «непосредственно перед настоящим моментом или совсем незадолго до него», сочетается только с глаголами в прошедшем времени, поэтому в приведенном сложносочиненном предложении оно может относиться только к первой грамматической основе.

Формально правило здесь другое: в первом примере сложносочиненное предложение с общим второстепенным членом, во втором – сложноподчиненное с однородными придаточными. Но запятая не ставится в обоих случаях.

Верно: с 1961 по 1969 год (г.). Здесь нет однородных членов, поэтому форма множественного числа не требуется.

Корректно: Вы должны отдать предпочтение цветам, фруктам, животным... Выбор безграничен. Возможны варианты: рубашка с пуговицами / на пуговицах.

Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии.