Постановка тире между подлежащим и сказуемым не зависит от того, сложное это предложение или простое.

В приведенном примере тире перед это нужно. Обратите внимание, что приведенное предложение простое (у него одна грамматическая основа).

Второй вопрос не вполне ясен. Возможно, будет понятнее, если Вы приведете пример.

Следует писать через тире с пробелами: Папуа – Новая Гвинея (если написать через дефис, получится сложное слово Папуа-Новая, т. е. будут нарушены смысловые отношения между единицами). Написание через тире Папуа – Новая Гвинея  зафиксировано нормативными словарями русского языка, в том числе «Русским орфографическим словарем» Российской академии наук.

Ваши рассуждения верны. Заметим, правда, что пунктуационное оформление присоединительного оборота с сочетанием по крайней мере не зависит от того, сложное предложение или простое: Мы надеемся, что, по крайней мере в этот раз, всё будет иначе; Я не сдамся, по крайней мере в этот раз. 

С двоеточием предложение воспринимается как бессоюзное сложное с отношениями причины (вторая часть называет причину того, о чем говорится в первой части), что очевидным образом не соответствует реальным смысловым отношениям частей. Наиболее уместно поставить между частями заголовка точку: Таиланд переживает мощные землетрясения. Куда лучше не ездить.

Это сложноподчиненное предложение с уступительными отношениями частей, средством связи в нем служит союзное слово что с частицей ни; между частями по общему правилу ставится запятая, но в данном случае возможно и тире, поскольку придаточная часть предшествует главной: Что бы ты ни задумал — передумай.

Такими — это действительно указательное местоимение. Что касается слова какими, то это тоже местоимение — в приведенном контексте относительное (оно может быть и вопросительным). Термин союзное слово называет роль относительного местоимения какими в структуре сложноподчиненного предложения, то есть характеризует его с точки зрения синтаксиса.  

Этот вопрос спорный. Запятую ставят, обосновывая ее влиянием европейской эпистолярной традиции или рассматривая этикетную формулу как сложное предложение с неполными частями, например такое: Пишу с уважением к Вам, я Иванов Иван. 

Однако есть и иная интерпретация, которой соответствует отсутствие запятой: С уважением к Вам пишет Иванов Иван.

Ваш спор связан с тем, что данная ситуация в правилах не описана, здесь можно применить разные правила и получить разный пунктуационный результат. Мы рекомендуем оборот с как, относящийся к личному местоимению, обособлять, потому что правило об обособлении определений при личных местоимениях «сильное», из него нет исключений.

Слово просьба не зафиксировано в справочниках и словарях в качестве вводного. Приведенное предложение — бессоюзное сложное с пояснительными отношениями; его первая часть восстанавливается примерно как У меня к вам просьба, далее следует сама эта просьба. Такой контекст требует двоеточия: Просьба: закрывайте окна при уходе из офиса!

Сочетание для сравнения в данном случае воспринимается как неполное предложение с восстанавливаемым глаголом речи или, шире, передачи информации: Для сравнения сообщу/напомню. Соответственно, вся конструкция представляет собой бессоюзное сложное предложение с изъяснительными отношениями. В таких предложениях ставится двоеточие: Для сравнения: жители этой страны не платят налог.