Подобные конструкции, содержащие дополнительное замечание, уместнее оформить как вставки; вводное слово внутри вставки требует выделения: У многих (возможно, у всех) работников возьмут объяснительные; У многих (а возможно, даже у всех) работников возьмут объяснительные; У многих (даже, возможно, у всех) работников возьмут объяснительные.
Контекст не позволяет узнать, что вопрос реально кто-то задавал, причём именно в такой форме, и решить, что его следует представить в виде прямой речи, с кавычками и вопросительным знаком. Судя по всему, здесь уместнее оформить вопрос так, как оформили Вы, — в виде изъяснительного придаточного.
Подобный случай действительно нелегко найти в справочниках. И всё же он там упоминается — в примечании 2 к параграфу 48 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя:
Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:
— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.
В примере из справочника прямая речь заканчивается восклицательным знаком, но полагаем, что аналогичным образом можно поступать и с точкой:
— А-а, ничего особенного. — Он изящно взмахнул рукой. — Я и не жаждал туда вступать…
Предложение неудачно. Если прямая речь вводится словом продолжил, то избыточно пояснение закончил он, и наоборот. Кроме того, если говорится, что первая часть фразы произнесена Васей безразлично, то ожидается, что и вторая имеет ту же интонацию, а эта часть наполнена эмоциями. Правильнее оформить прямую речь как два предложения.
Первая запятая отделяет междометие от остального предложения, вторая — присоединительную конструкцию, третья — придаточную часть. Заметим, что, поскольку после присоединительной конструкции предложение продолжается, её лучше оформить как вставку: Увы, всё это тоже снесли (кое-что подчистую), когда вместо старой «большой деревни» власти создавали новый социалистический город.
Возможны два варианта пунктуации. Можно оформить прямую речь (тогда слова сообщила компания в отчете будут словами автора: «Автобусные перевозчики и личный автотранспорт являются главными конкурентами», – сообщила компания в отчете.
Также эти слова могут выполнять функцию вводного предложения: Автобусные перевозчики и личный автотранспорт являются главными конкурентами, сообщила компания в отчете.
Фрагмент уместно оформить без использования прямой речи, поскольку в нем важно передать общий смысл слов, а не дословно процитировать кого-либо. При этом нужно выделить запятыми придаточное предложение: На вопрос, может ли вода на Земле полностью высохнуть, учёные отвечали, что это возможно и что такой процесс займёт 24 миллиарда лет.
Первое из приведенных предложений нужно отредактировать: Говорят, что они первые поселенцы и что сам правитель прислушивается к их советам; другой возможный вариант: Говорят, они первые поселенцы и сам правитель прислушивается к их советам. Второе предложение нужно оформить так: Знаю, что все мы пленники и нами управляют, как марионетками.
Рекомендуется оформить предложение со вставкой: Потрепанная бездомным котом или неведомой болезнью (а может, просто жизнью), ворона недовольно смотрела на меня. Запятая перед определяемым словом ворона сигнализирует о том, что причастный оборот в начале предложения имеет дополнительное значение причины. Если автор не намерен выражать это значение, ставить запятую не нужно.
Слово кажется в этом предложении вводное, оно выражает неуверенность говорящего (пишущего) в том, что он сообщает. Если требуется подчеркнуть, что вводное слово относится не ко всему высказыванию в целом, а только к наречию осознанно, можно оформить его как вставку: Художник Иван в своем творчестве — кажется, осознанно — избегал связи с абстрактной живописью.
