Корректно: тенденция к улучшению чего-либо.
См. "Словарь трудностей".
Возможны оба варианта.
Если это официальное название мероприятия, то уместна прописная буква в начале названия.
С помощником директора.
Здесь об этом рассказывается подробно.
Наличие формы в И объясняется следующим. Город Санкт-Петербург был основан как крепость Санктпитербурх (в честь святого Петра, небесного покровителя императора). Название было дано Петром I. Среди вариантов, встречающихся в письмах Петра Великого: Санктъпетерсъбурк (1703), Санктпитербурх (1703), Питербурх (1706), Санктпетерзбурк (1710); позже преобладают варианты с -Питер-: Санкт-ПитерБург (1714), Санктъ Питербурх (1720). В газете «Ведомости» чаще упоминается в форме Санктъпитербурх, и только с июля 1724 г. вместо Питер- начинают постоянно печатать Петер-. Очевидно, от форм с И и было образовано сокращенное Питер.
Ударение на втором слоге: цепочка.
Форма дат. п. мужской фамилии: Верескуну. Женская фамилия несклоняема.
