Правильно: Шерлока Холмса и доктора Ватсона.
В таком контексте предпочтительно употребление предлога над. См. также статью в "Словаре трудностей" на нашем портале: Контроль.
Слова Псковщина, Смоленщина, Брянщина и т. п. входят в состав русского литературного языка, они образованы по законам русской грамматики, их употребление корректно.
Если имеется в виду название праздника, то верно написание с прописной буквы: 23 Февраля.
Корректно: на двоих детей.
Правильно: уборка производится.
Лучше: ...является приоритетным направлением.
Нет оснований писать с прописной буквы. А вот кавычки не помешают.
Зависимые слова не влияют на написание прилагательных (они оказывают влияние только на правописание причастий). Корректно слитное написание прилагательного с частицей, если далее в тексте нет противопоставления.
Как правило, индекс пишется без пробелов.