Согласно орфоэпическим правилам (см., напр., «Орфоэпический словарь русского языка» под ред. Р. И. Аванесова) буквы е и я в начале слова обозначают гласный [ие] с предшествующим [й], т. е. сочетание [йие]. Произношение звуков, передаваемых на письме буквой я,  в слове яичница ([йиеишн']ица) ничем не отличается от произношения в других словах с я в начале слова, ср. язык, январь ([йиезык], [йиенвар']), т. е. слово яичница не является каким бы то ни было исключением (хотя «йот» и произносится в этом слове слабо). Произношение «иичница» неправильно. Во избежание разночтений ответ на вопрос № 266317 дополнен.

Вы приводите правило из свода 1956 года. Некоторые, весьма немногочисленные его рекомендации устарели и не отражают норму сегодняшнего дня. К ним относится и приведенное Вами правило о написании аббревиатур. Уже довольно давно в руководствах по орфографии отмечается, что звуковые аббревиатуры следует писать прописными буквами, кроме тех немногочисленных слов, которые давно вошли в язык в написании строчными буквами. Ср.: СМИ (средства массовой информации), ЖКХ (жилищно-коммунальное хозяйство), СНТ (садоводческое некоммерческое товарищество) и вуз (высшее учебное заведение), втуз (высшее техническое учебное заведение), дот (долговременная огневая точка). Отдельные звуковые аббревиатуры могут писаться и прописными, и строчными буквами, напр.: НЭП и нэп, ЗАГС и загс.

Знаки перед и стоят (или не стоят) правильно. Однако в шестом и седьмом предложениях возможны варианты пунктуации.

В шестом предложении вводное сочетание как нам рассказывали может относиться или к обеим частям, соединенным союзом и, или только к первой. В первом случае запятая не нужна, во втором – нужна.

В седьмом предложении похожая ситуация. Вполне можно сказать, что и падение на раскладушку, и ее поломка произошли из-за безудержного хохота. Т. е. обе придаточные части можно рассматривать как однородные. Такой трактовке соответствует Ваш вариант пунктуации. Но по смыслу придаточные части все же неравноправны: они находятся в отношениях причины и следствия. Поэтому запятая между ними тоже возможна.   

Такого правила нет. Некоторые наименования, включающие слово суд, зафиксированы в академическом словаре: 

Выбор буквы зависит от того, как функционируют эти организации, насколько можно о них говорить как о самостоятельных организациях или как о частях организаций. Дело в том, что названия частей и отделов учреждений, организаций, а также слова типа президиум, ученый совет, совет директоров, правление и др. пишутся строчными (совет директоров ОАО «РЖД»). Если организации, о названиях которых Вы спрашиваете, обладают всё же самостоятельностью, пусть и находясь в структуре СО РАН, СПР России (т. е. они ближе к официальным названиям общественных  организаций, чем к названиям частей учреждений), то корректно написание с прописной: Совет молодых ученых СО РАН, Совет молодых литераторов Союза писателей России.

У слова что есть значение 'который', и такое употребление очень распространено в художественной литературе. Вариант демоны, что живут в каждом вовсе не является менее правильным, чем демоны, живущие в каждом или демоны, которые живут в каждом. Не очень понятно, почему Вы заподозрили, что это новое правило: подобные конструкции в изобилии встречаются в русской классике. Например: Старый дуб, что посажен отцом. Некрасов. Где насекомые, что так разнообразно жужжали в траве? Гончаров. Вот подарок тебе, что давно посулил. А. Кольцов. Не из тех ли только он бездушных, что в столице много встретишь ты? Некрасов. Спой мне песню ту, что пел ты в хате лесника. Полонский.

Правильно: последний.

Вот цитата из книги «Слово о словах» Л. В. Успенского:

Тысячи людей говорят: "Кто тут крайний?", подойдя к очереди за газетами... Это словоупотребление не может быть признано правильным и литературным. Если на вопрос: "В каком вагоне ты едешь?" вы ответите: "В крайнем!", у вас сейчас же потребуют разъяснить: от начала или от конца поезда, в первом или в последнем? У каждого ряда предметов по крайней мере два края, и слово "крайний" стало употребляться тут по нелепому недоразумению, ибо обычному слову "последний" в некоторых говорах народной речи придается неодобрительное значение - "плохой", "никуда не годный": "Опоследний ты, братец мой, человек!".

Нет, это закономерное сочетание. См., например, 

Большой универсальный словарь русского языка

НАИЗУСТЬ, нареч.

1.0. В такой степени, к-рая позволяет дословно воспроизводить текст, не глядя в источник, где он зафиксирован графически. Син. на память, по памяти.

Выучить что-л. (заучить что-л., затвердить что-л., запомнить что-л., помнить несов. что-л., знать несов. что-л., читать, цитировать, шпарить зд. несов., разг. …) наизусть. □ Это стихотворение я знаю наизусть. ● 1.1. Очень хорошо, подробно, со всеми деталями, во всех подробностях.   Син. прекрасно. Ну что ты с ним споришь, он же юрист и знает этот закон, что называется, н. Я н. знаю всё, что она мне может сказать.

Дело в том, что морфемный разбор делают в школе, а там понятие морфа не вводится, морф и морфему не различают. Более того, само понятие морфемы для школы относительно новое. Загляните в учебники: во многих из них предлагается выполнить даже не морфемный разбор, а разбор слова по составу. При этом понятие морфемного разбора вряд ли можно признать неправильным. В слове выделяются морфы как представители морфем. Для этого морфы данного слова должны сопоставляться с морфами тех же морфем в других словах. То есть при разборе слова по составу (по морфам) мы от «морфного» уровня неизбежно поднимаемся на морфемный. 

Правила Вы можете посмотреть в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина.

В приведенных Вами предложениях знаки нужно расставить следующим образом. 

1. И хотя было уже поздно, я решил остаться. И когда взошло солнце, никто уже не спал. В начале предложения между союзом и и подчинительным союзом запятая не ставится. 

2. Они побежали и, если бы не свет от фонаря, точно растянулись бы на земле. Перед и запятая не нужна, так как союз соединяет однородные сказуемые; после и запятая нужна, так как придаточную часть можно переставить в другую часть предложения, что связано с отсутствием второй части союза если... то.