Фамилия Сапега склоняется, правильно: Сапегу Игоря Евгеньевича.
Написание этого слова не менялось, правильно чайхана. Почему пишут чайхона? Варианта два: 1) ошибка; 2) намеренное искажение написания слова (возможно, в маркетинговых целях).
Запятая не нужна. Нет оснований для ее постановки.
Написание 2500-летие корректно. В словесной форме: двухтысячепятисотлетие.
Скорее всего, в магнитофонной записи была ошибка. Правильно именно Кадашёвская набережная (такова словарная фиксация, см., напр., Словарь собственных имен русского языка Ф. Л. Агеенко). Название происходит от слова кадаши: Кадашёвская слобода в XVI в. была населена кадашами – мастерами, изготовлявшими кади, т. е. кадки, бочки.
Пальто - неизменяемое существительное. У таких существительных окончаний не бывает.
Правильно: рядом с Пулковом. Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом.
Да, это склоняемые существительные: прочитать в «Википедии».
Распогодиться - глагол совершенного вида (что сделать?). Глаголы совершенного вида, обозначая законченное действие или действие, достигшее определенного предела, не имеют форм настоящего времени. У таких глаголов только две формы времени - прошедшее (распогодилось) и будущее (распогодится).
Это разные слова: прокачано - от прокачать, прокачено - от прокатить.
