Эти фамилии, действительно, могут склоняться – но только в непринужденной устной речи, причем с некоторым оттенком фамильярности. Вероятно, именно о таком разговорном употреблении шла речь на «Эхе». Согласно строгой литературной норме, фамилии на -ых не склоняются (ни мужские, ни женские). Как несклоняемые они отмечены, например, в «Грамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка.

Приведем также цитату из работы Н. А. Еськовой «Трудности словоизменения существительных»:

«Особый тип представляют собой русские фамилии на -ых (-их), выдающие свое происхождение от формы родительного (и предложного) падежа множественного числа прилагательных: Белых, Черных, Крученых, Кудреватых, Долгих, Рыжих. По строгим нормам литературного языка такие фамилии не склоняются: лекции Черных, роман Седых, творчество Крученых и т. п.

Примечание. В непринужденной разговорной речи существует тенденция склонять такие фамилии, когда они принадлежат мужчинам, действующая тем сильнее, чем ближе общение с носителем фамилии. Так, в ныне не существующем Московском городском педагогическом институте им. Потемкина студенты сороковых-пятидесятых годов слушали лекции Черныха, сдавали экзамены и зачеты Черныху и т.п. (сказать иначе никому не приходило в голову). Если бы эта разговорная тенденция победила, фамилии на -ых, -их перестали бы отличаться от прочих фамилий на согласные».

Формулировка предполагает, что каждое число не должно делиться ни на 6, ни на 7.

Во втором примере можно опустить двоеточие.

Правила образования и написания отчеств в русском языке существуют, их можно найти в специализированных словарях и справочных пособиях (см., например, «Словарь русских личных имен» А. В. Суперанской). Другое дело, что от некоторых имен образуются двоякие формы отчеств (Геннадьевич и Геннадиевич, Даниилович и Данилович). Вот в таких случаях (когда возможны варианты) единственно верным написанием отчества конкретного человека будет то, которое указано в его паспорте (или свидетельстве о рождении).

Правильное ударение по-прежнему украи́нский. Помета «устар.» в «Большом толковом словаре» относится к варианту укра́инский. Из всех орфоэпических словарей только «Большой орфоэпический словарь русского языка» дает укра́инский как допустимый вариант (но всё равно при предпочтительном украи́нский).

Верно: Петр дает согласие Ивану на продажу дома на условиях по его усмотрению. Петр уполномочивает Ивана продать дом на условиях по его усмотрению.

Вы совершенно правы. Однако ошибка заключается не только в построении деепричастного оборота (описании последовательности действий), но и в нарушении управления глагола уходить. Корректно: Он цокнул языком и, встав со своего места, направился к двери.  

В этом предложении возможны варианты пунктуации, зависящие от смысла.

1. Когда мне исполнилось 5 лет, родители купили мне новую двухъярусную кровать – до этого была другая, старая двухъярусная кровать. В этом случае определения новую и двухъярусную не являются однородными.

2. Когда мне исполнилось 5 лет, родители купили мне новую, двухъярусную кровать – до этого кровать была одноярусная. В этом случае определение двухъярусную имеет пояснительный характер. Пояснительные согласованные определения не выделяются, а лишь отделяются от поясняемого определения запятой.

В обоих предложениях запятая перед и не требуется, поскольку у двух частей сложного предложения есть общие элементы: третья часть предложения (в первом примере) и вводные слова (во втором).

Если в сложном предложении перед подчинительным союзом или союзным словом стоит сочинительный союз и, запятая не ставится. Так что указанная запятая не нужна.