Дело в том, что формы в Домодедове, Митине, Бибиреве, Сколкове отнюдь не новые, а, наоборот, старые, отвечающие строгой литературной норме. Склоняемый вариант изначально был единственно правильным, несклоняемый (в Домодедово, Митино, Бибирево, Сколково) распространился относительно недавно и пришел из речи военных и географов (возник он как раз потому, что  очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Иванов или Иваново). В современном русском языке, действительно, допустимы оба варианта: старый (в Домодедове, в Иванове, в Бирюлеве) и новый (в Домодедово, в Иваново, в Бирюлево); если же топоним употребляется с родовым словом (город, село, район и т. п.), он не склоняется: в городе Иваново, в районе Бирюлево.

Это разные случаи. Общий принцип: искажение цитаты не допускается, но если всё же в нее вносятся какие-либо изменения, то текст цитаты должен быть четко отделен от привнесенных элементов. В «Справочнике издателя и автора» говорится о том, что в цитате могут быть расшифрованы сокращения с обязательным использованием прямых или угловых скобок в качестве знака, обозначающего границы вмешательства в цитируемый текст. В случае, обсуждаемом в вопросе № 324680, цитируемый текст искажается без каких-либо указаний на этот факт, как и на границы искажения.

1. В справочниках не сформулировано правило о том, с какой буквы должна начинаться прямая речь, если она включается в текст как член предложения. Примеры приводятся разные, в частности: Это «не хочу» поразило Антона Прокофьевича; Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание (примечание к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Вопрос остается, видимо, на усмотрение автора текста. Добавим лишь, что если с помощью знака конца предложения (восклицательного, вопросительного знака, многоточия) передается интонация прямой речи, то естественно было бы начать ее с прописной буквы, чтобы представить как законченное предложение: Братья разворачиваются и уходят, и вслед им летит громогласное «Не смейте оставлять нас здесь!». Что касается двоеточия, то оно здесь совершенно точно не нужно.

2. Слово прощай может быть представлено и как нечленимое предложение, сказанное с определенной интонацией, и как слово, поэтому корректны разные варианты его оформления.

3. После тире ставится именно точка, потому что авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение. См. подробнее ответ на вопрос № 325744.

Такое значение "нарывать - нарвать" существует.

НАРВАТЬ, -рвёт; нарвал, -ла, -ло; св.
Опухнуть и нагноиться. Палец нарвал. [] безл. Палец нарвало. < Нарывать, -ает; нсв.

При таком построении предложения правильно: Просим Вас поощрить следующих учащихся: Иванову А. П. (3-я гр.), Петрова В. К. (4-я гр.). Если нужно, чтобы фамилии стояли в именительном падеже, то нужно перестроить текст обращения.

Можно. Правила переносов см. здесь.

Правильно: кросс-серверный. В русском языке три одинаковых согласных подряд не пишутся, необходим дефис.

В литературном языке названия республик женского рода, оканчивающиеся на -ия, -ея, согласуются со словом республика, т. е. склоняются. Литературная норма: столица Адыгеи, столица Республики Адыгеи. Однако в официально-деловой речи, в документах название часто остается в именительном падеже.